【位移之差公式的推导过程】在物理学中，位移是描述物体位置变化的矢量量，通常用从初始位置到最终位置的有向线段表示。当研究两个物体的运动时，常常需要计算它们之间的位移之差，以了解它们之间的相对位置关系。本文将对“位移之差公式”的推导过程进行总结，并通过表格形式展示关键步骤和公式。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 位移 | 物体从一个位置移动到另一个位置的矢量，表示为 $ \vec{s} = \vec{r}_f - \vec{r}_i $ |
| 相对位移 | 两个物体之间相对于彼此的位移，记作 $ \vec{s}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A $ |
二、位移之差的定义
设物体 A 的位移为 $ \vec{s}_A $，物体 B 的位移为 $ \vec{s}_B $，则两者的位移之差为：
$$
\Delta \vec{s} = \vec{s}_B - \vec{s}_A
$$
这个表达式表示的是物体 B 相对于物体 A 的位移变化。
三、推导过程
1. 设定坐标系
假设在直角坐标系中，物体 A 和 B 的初始位置分别为 $ \vec{r}_{A_i} $ 和 $ \vec{r}_{B_i} $，经过一段时间后，它们的末位置分别为 $ \vec{r}_{A_f} $ 和 $ \vec{r}_{B_f} $。
2. 计算各自的位移
- 物体 A 的位移：
$$
\vec{s}_A = \vec{r}_{A_f} - \vec{r}_{A_i}
$$
- 物体 B 的位移：
$$
\vec{s}_B = \vec{r}_{B_f} - \vec{r}_{B_i}
$$
3. 求位移之差
将两者相减得到位移之差：
$$
\Delta \vec{s} = \vec{s}_B - \vec{s}_A = (\vec{r}_{B_f} - \vec{r}_{B_i}) - (\vec{r}_{A_f} - \vec{r}_{A_i})
$$
4. 整理表达式
展开并整理：
$$
\Delta \vec{s} = \vec{r}_{B_f} - \vec{r}_{B_i} - \vec{r}_{A_f} + \vec{r}_{A_i}
$$
可以进一步写成：
$$
\Delta \vec{s} = (\vec{r}_{B_f} - \vec{r}_{A_f}) - (\vec{r}_{B_i} - \vec{r}_{A_i})
$$
5. 引入相对位移概念
若令 $ \vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A $，即 B 相对于 A 的位置，则位移之差可以表示为：
$$
\Delta \vec{s} = \vec{r}_{BA_f} - \vec{r}_{BA_i}
$$
四、总结表格
| 步骤 | 内容 | 公式 |
| 1 | 设定初始与末位置 | $ \vec{r}_{A_i}, \vec{r}_{A_f}, \vec{r}_{B_i}, \vec{r}_{B_f} $ |
| 2 | 计算各自位移 | $ \vec{s}_A = \vec{r}_{A_f} - \vec{r}_{A_i} $, $ \vec{s}_B = \vec{r}_{B_f} - \vec{r}_{B_i} $ |
| 3 | 求位移之差 | $ \Delta \vec{s} = \vec{s}_B - \vec{s}_A $ |
| 4 | 展开并整理表达式 | $ \Delta \vec{s} = (\vec{r}_{B_f} - \vec{r}_{A_f}) - (\vec{r}_{B_i} - \vec{r}_{A_i}) $ |
| 5 | 引入相对位移 | $ \Delta \vec{s} = \vec{r}_{BA_f} - \vec{r}_{BA_i} $ |
五、结论
位移之差的公式本质上是两个物体位移的矢量差，反映了它们之间相对位置的变化。通过对位移的定义和相对位置的引入，可以清晰地推导出该公式。此公式在分析相对运动、碰撞问题以及多物体系统中的运动关系时具有重要意义。
