【普通年金终值公式推导思路】在金融数学中，普通年金（也称为后付年金）是一种在每期期末支付一定金额的定期支付方式。普通年金的终值是指在一系列等额、定期支付的款项按照一定的利率进行复利计算后，在最后一期结束时的总价值。理解并掌握普通年金终值公式的推导过程，有助于更好地掌握资金时间价值的基本原理。
一、基本概念
- 普通年金（Ordinary Annuity）：指在每期期末支付的一系列等额款项。
- 终值（Future Value, FV）：指未来某一时间点上所有资金的价值总和。
- 利率（Interest Rate, i）：用于计算复利的年利率。
- 期数（n）：年金支付的次数。
二、推导思路总结
普通年金终值的推导基于复利计算的基本原理，即每一笔支付都会在后续期间产生利息。通过逐期计算每笔支付的终值，并将它们相加，最终可以得到一个简洁的公式。
| 推导步骤 | 内容说明 |
| 1. 设定变量 | 设每期支付金额为 $ A $，利率为 $ i $，期数为 $ n $。 |
| 2. 第一期支付 | 第一期支付 $ A $ 在第 $ n $ 期的终值为 $ A(1+i)^{n-1} $。 |
| 3. 第二期支付 | 第二期支付 $ A $ 在第 $ n $ 期的终值为 $ A(1+i)^{n-2} $。 |
| 4. 依此类推 | 每一期的支付都按其剩余期数计算终值，直到第 $ n $ 期支付无利息。 |
| 5. 累加所有终值 | 将各期支付的终值相加，形成一个等比数列求和。 |
| 6. 使用等比数列求和公式 | 最终得出普通年金终值公式：$ FV = A \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} $ |
三、关键公式
普通年金终值公式为：
$$
FV = A \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i}
$$
其中：
- $ FV $ 表示普通年金的终值；
- $ A $ 表示每期支付金额；
- $ i $ 表示每期利率；
- $ n $ 表示支付期数。
四、示例说明
假设某人每年末存入 1000 元，年利率为 5%，连续存 3 年，求终值是多少？
| 期次 | 支付金额 | 终值计算 | 终值 |
| 1 | 1000 | $ 1000 \times (1+0.05)^2 $ | 1102.5 |
| 2 | 1000 | $ 1000 \times (1+0.05)^1 $ | 1050 |
| 3 | 1000 | $ 1000 \times (1+0.05)^0 $ | 1000 |
| 合计 | - | - | 3152.5 |
使用公式计算：
$$
FV = 1000 \times \frac{(1+0.05)^3 - 1}{0.05} = 1000 \times \frac{1.157625 - 1}{0.05} = 1000 \times 3.1525 = 3152.5
$$
结果一致，验证了公式的正确性。
五、小结
普通年金终值公式的推导是基于复利计算和等比数列求和的原理。通过逐期分析每笔支付的终值并累加，最终得到一个简洁的公式。这一公式在实际财务决策中具有广泛的应用，如养老金计划、贷款还款、投资回报分析等。理解其推导过程有助于提高对资金时间价值的理解与应用能力。
