【微积分公式介绍】微积分是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。它主要研究函数的变化率和累积量，包括微分和积分两个部分。以下是对微积分中常用公式的总结，帮助读者快速了解其基本内容。
一、微分公式
微分用于求解函数在某一点的瞬时变化率，即导数。以下是常见的微分公式：
| 函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数求导法则 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 指数函数的导数仍为自身 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数为余弦 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数为负正弦 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
二、积分公式
积分用于计算函数在某个区间上的面积或累积值，分为不定积分和定积分两种形式。以下是一些常用的积分公式：
| 函数形式 | 不定积分公式 | 说明 | ||
| $ f(x) = c $ | $ \int c \, dx = cx + C $ | 常数积分结果为常数乘以变量 | ||
| $ f(x) = x^n $ | $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | 幂函数积分公式 | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x \, dx = e^x + C $ | 指数函数的积分仍为自身 | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln | x | + C $ | 1/x 的积分是自然对数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ | 正弦函数的积分 | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | 余弦函数的积分 | ||
| $ f(x) = \sec^2 x $ | $ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C $ | 正切函数的积分 | ||
| $ f(x) = \frac{1}{1+x^2} $ | $ \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C $ | 反正切函数的积分 |
三、微积分基本定理
微积分基本定理是连接微分与积分的重要桥梁，主要包括以下两点：
1. 第一基本定理：
若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数，则
$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
2. 第二基本定理：
若 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则函数
$$
F(x) = \int_a^x f(t) \, dt
$$
是 $ f(x) $ 的一个原函数，即 $ F'(x) = f(x) $
四、常见积分技巧
除了基本积分公式外，还有一些常用的积分方法，如：
- 换元积分法（代换法）
- 分部积分法
- 三角替换法
- 有理函数分解法
这些方法在处理复杂函数积分时非常有用。
总结
微积分是数学分析的核心内容之一，通过微分和积分可以深入理解函数的变化规律和整体性质。掌握这些基础公式和方法，有助于在实际问题中灵活应用微积分知识，解决各种数学与科学问题。
